สรุปเรื่อง สับเซต

เมื่อพูดถึง เซต ให้นึกถึง ”กลุ่ม” ซึ่งกลุ่มนั้นอาจจะมีสมาชิก หรือไม่มีสมาชิกก็ได้
สำหรับเซตซึ่งมีสมาชิก สามารถแบ่งได้เป็น 2 ประเภท คือ สมาชิกมีจำนวนที่แน่นอน --> เราเรียกเซตนั้นว่า “เซตจำกัด” หากจำนวนสมาชิกมีจำนวนมากมายไม่สามารถบอกปริมาณที่แน่นอนได้เราเรียก “เซตอนันต์”


การเขียนเซต
นิยมทำกัน 2 วิธี คือ 1. แบบแจกแจงสมาชิก, 2. แบบบอกเงื่อนไข
ก. แบบแจกแจงสมาชิก
เช่น {}1,2,3A=อ่านว่า A เป็นเซตซึ่งมีสมาชิกเป็น 1, 2 และ 3
ข. แบบบอกเงื่อนไข
เช่น {}4AxIx+=∈<< อ่านว่า A เป็นเซตของ x ซึ่ง x เป็นสมาชิกของจำนวนเต็มบวก โดยที่ x มีค่ามากกว่า 4 แต่น้อยกว่า 6
ซึ่ง เราสามารถที่จะเขียนแทนเซต A ได้ด้วยการแจกแจงสมาชิก คือ A ={5}
สัญลักษณ์ที่ใช้ในเซต


1. ∈แทน เป็นสมาชิก
เช่น 2 ∈I+ อ่านว่า 2 เป็นสมาชิกของจำนวนเต็มบวก
2. U แทน เอกภพสัมพัทธ์
ใช้เพื่อกำหนดขอบเขตของสิ่งที่เราสนใจและกำลังศึกษา
3. {},∅แทน เซตว่าง
สัญลักษณ์ของระบบจำนวนที่พบบ่อย
R : จำนวนจริง
Q : จำนวนตรรกยะ Q’ : จำนวนอตรรกยะ
I: จำนวนเต็ม เศษส่วน ทศนิยมซ้ำ
I-: จำนวนเต็มลบ I0: จำนวนเต็ม 0 I+: จำนวนเต็มบวก
การเท่ากันของเซต
1. จำนวนสมาชิกเท่ากัน 2. สมาชิกเหมือนกัน
การเทียบเท่ากันของเซต
1. จำนวนสมาชิกเท่ากัน
การกำหนดเซต
จะต้อง 1.) มีสมาชิกแน่นอน หรือ ไม่มีสมาชิกเลย
2.) หากกำหนดเป็นแบบบกเงื่อนไข จะต้องไม่กำกวม คือ ทุกคนต้องตอบเหมือนกัน
ตัวอย่างของการกำหนดเซตที่ไม่ถูกต้อง
ให้เซต A แทนเซตของคนที่หล่อที่สุดในโรงเรียน เป็นต้น
สับเซต สัญลักษณ์ ⊂
A B อ่านว่า “A เป็นสับเซตของ B” ⊂
นิยาม : A จะเป็นสับเซตของ B ได้ ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวในเซต A ต้องอยู่ในเซต B
ข้อควรจำ : เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต
ตัวอย่างการหาสับเซต
ตย.1 จงหาสับเซตที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ A เมื่อ A = {1, 2}
สับเซต A = ∅, {1}, {2}, {1,2}
จะสังเกตได้ว่า แต่ละเซตของสับเซต A เช่น {1} มีสมาชิกหนึ่งตัว คือ 1 ซึ่งก็เป็นสมาชิกของ A ด้วยเช่นกัน
จำนวนสับเซตของ A มีทั้งหมด 4 เซต
ตย.2 จงหาสับเซตที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ B เมื่อ B = {3, 4, 5}
สับเซต B = , {3}, {4}, {5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}, {3,4,5} ∅
จำนวนสับเซตของ B มีทั้งหมด 8 เซต
จาก ตย.1 และ ตย.2 จะสามารถสังเกตได้ว่า จำนวนสับเซตมีความสัมพันธ์กับจำนวนสมาชิกของเซตเดิมคือ
จำนวนสับเซต = 2 ยกกำลังจำนวนสมาชิกของเซตเดิม = 2n เมื่อ n คือจำนวนสมาชิกของเซตเดิม
สับเซตแท้ คือสับเซตที่ไม่ใช่เซตเดิม
เช่น A = {1, 2} สับเซต A = , {1}, {2}, {1,2} ∅
สับเซตแท้
สับเซตไม่แท้
การ Operation ของเซต
1. Union : รวม -> สัญลักษณ์ 2. Intersection : เหมือน -> สัญลักษณ์ ∩ ∪
3. Difference : ต่าง -> ลัญลักษณ์ - 4. Complement : ไม่เอา -> สัญลักษณ์ ‘
ตัวอย่างการใช้งาน
U = {1, 2, 3, 4, …, 10}, A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6, 8, 10}
1. Union : A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10} ; B∪A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10} -> AB = BA ∪∪
2. Intersection : AB = {2, 4} ; BA = {2, 4} -> A∩∩∩B = B∩A
3. Difference : A - B = {1, 3, 5} ; B – A = {6, 8, 10} -> A – B ≠B – A
จำง่าย ๆ ว่า : เป็นสมาชิกที่อยู่เฉพาะในเซตหน้า ไม่อยู่ในเซตหลัง
4. Complement : A’ = {6, 7, 8, 9, 10} ; B’ = {1, 3, 5, 7, 9}
ไม่เอาสมาชิกในเซตที่มีเครื่องหมาย ‘ แต่สมาชิกที่ได้ยังคงต้องอยู่ใน U
สมบัติของการ Operation
1. AB = B∪A การสลับที่ ∪
2. AB = B∩A ∩
3. A = A ∪∅
4. A = เอกลักษณ์ ∩∅∅
5. A U = U ∪
6. AU = A ∩
7. A(B∪C) = (AB) ∪C การเปลี่ยนกลุ่ม ∪∪
8. A(B∩C) = (AB) ∩C ∩∩
9. A(B∩C) = (AB) ∩(A∪C) ∪∪
10. A(B∪C) = (AB) ∪(A∩C) การกระจาย ∩∩
11. A – (B∩C) = (A – B) (A – C) ∩
12. A – (B∪C) = (A – B) ∪(A – C)
13. (A’)’ = A
14. (AB)’ = A’ B’ สมบัติของ Complement ∪∩
15. AA’ = U ∪
16. AA’ = ∩∅
17. **A - B = AB’ = B’ – A’ ** Difference ∩
18. A – B B – A ≠
เพาเวอร์เซต (Power Set)
คือ เซตของสับเซต
เช่น A = {1, 2} -> Subset A = ∅, {1}, {2}, {1, 2}
Power Set A = {, {1}, {2}, {1, 2}} ∅
ความสัมพันธ์ของ Power Set กับการ Operation
P(AB) = P(A) ∩P(B) ∩
P(AB) P(A) ∪P(B) ∪≠
ถ้า A B แล้ว P(AB) = P(A) ∪P(B) -> ดังนั้นสามารถสรุปได้ว่า P(A) P(B) P(AB) ⊂∪∪⊂∪
P(A – B) P(A) – P(B) ≠
แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ เป็นแผนภาพหรือสัญลักษณ์แทนการแจกแจง
ประโยชน์ คือ ทำให้ง่ายต่อการทำความเข้าใจและการคำนวณ
แทน U เอกภพสัมพัทธ์ด้วย กรอบสี่เหลี่ยม
แทนเซตต่าง ๆ ด้วยวงกลมในกรอบ
การหาจำนวนสมาชิกของเซต
สามารถพิสูจน์ได้จากการเขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์
n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB) ∪∩
n(ABC) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AB) – n(A∪∪∩∩C) – n(B∩C) + n(A∩B∩C)