วันพฤหัสบดีที่ 19 มกราคม พ.ศ. 2555

นัยอันล้ำลึกของคำว่า “ขอบคุณ”

แก้วที่คว่ำอยู่กลางสายฝนต่อให้ฝนตกกระหน่ำทั้งคืน
ก็ไม่อาจเต็มไปด้วยน้ำคนที่ไม่ยอมเปิดใจเรียนรู้
ต่อให้คลุกคลีอยู่กับนักปราชญ์ทั้งคืนทั้งวันก็ยังโง่เท่าเดิม
นัยอันล้ำลึกของคำว่า “ขอบคุณ”
ขอบคุณความไม่รู้ ที่ทำให้รู้วิธีลุกขึ้นสู้
ขอบคุณความยากจน ที่ทำให้เป็นคนมุมานะ
ขอบคุณความล้มเหลว ที่ทำให้เกิดความเชี่ยวชาญ
ขอบคุณความผิดพลาด ที่ทำให้ฉลาดยิ่งกว่าเดิม
ขอบคุณความริษยา ที่ทำให้กล้าสร้างสรรค์สิ่งใหม่
ขอบคุณคำวิพากษ์วิจารณ์ ที่ทำให้ผลิบานอย่างไร้ข้อตำหนิ
ขอบคุณความไม่รู้ ที่ทำให้รู้จักครูที่ชื่อประสบการณ์
ขอบคุณความผิดหวัง ที่ทำให้ตั้งสติเพื่อลุกขึ้นมาใหม่
ขอบคุณศัตรูที่แกร่งกล้า ที่ทำให้รู้ว่าเรายังไม่ใช่มืออาชีพ
ขอบคุณมหกรรมคอรัปชั่น ที่ทำให้เราอยากสร้างสรรค์การเมืองใหม่
ขอบคุณความป่วยไข้ ที่ทำให้เราตั้งใจดูแลสุขภาพ
ขอบคุณความทุกข์ที่ ทำให้เรารู้ว่าความสุขมีค่าแค่ไหน
ขอบคุณความพลัดพราก ที่ทำให้เราสละจากความยึดมั่น ถือมั่น
ขอบคุณเพลิงกิเลส ที่ทำให้เรามีเหตุอยากถึงพระนิพพาน
ขอบคุณความตาย ที่ทำให้ฉากสุดท้ายของชีวิตสมบูรณ์แบบ…
โดยท่าน ว. วชิรเมธี

วันอังคารที่ 17 มกราคม พ.ศ. 2555

สรุปสูตร ตรีโกณมิติ


อัตราส่วนตรีโกณมิติ







 ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ


ความสัมพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ


 1.  sin A . cosec A = 1

 2.  cos A . sec A = 1

 3.  tan A . cot A = 1

tan A + cot A

 6.  sin2 A  +  cos2 A = 1

 7.  sec2 A  -  tan2 A = 1

 8.  cosec2 A  -  cot2 A = 1
 มุม
หน่วยองศา

1 องศา      60' (ลิปดา)
1 ลิปดา      60" (ฟิลิปดา)
หน่วยเรเดียน
เครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติตามควอแดรนต์

ฟังก์ชันของมุมรอบจุด
ข้อสังเกต
 1. ฟังก์ชัน      90o   +   A       ,         270o   +   A                   จะได้   co-function
 2. ฟังก์ชัน    180o   +   A       ,   n . 360o   +   A       ,  -A      จะได้ฟังก์ชันเดิม

90o - A90o + A180o - A180o + A270o - A270o + A360o - A360o + A- A

sin
cos
tan
cot
sec
csc

cos A
sin A
cot A
tan A
csc A
sec A

cos A
- sin A
- cot A
- tan A
- csc A
sec A

sin A
- cos A
- tan A
- cot A
- sec A
csc A

- sin A
- cos A
tan A
cot A
- sec A
- csc A

- cos A
- sin A
cot A
tan A
- csc A
- sec A

-cos A
sin A
- cot A
- tan A
csc A
- sec A

- sin A
cos A
- tan A
- cot A
sec A
- csc A

sin A
cos A
tan A
cot A
sec A
csc A

- sin A
cos A
- tan A
- cot A
sec A
- csc A

สรุปเรื่อง สับเซต

เมื่อพูดถึง เซต ให้นึกถึง ”กลุ่ม” ซึ่งกลุ่มนั้นอาจจะมีสมาชิก หรือไม่มีสมาชิกก็ได้
สำหรับเซตซึ่งมีสมาชิก สามารถแบ่งได้เป็น 2 ประเภท คือ สมาชิกมีจำนวนที่แน่นอน --> เราเรียกเซตนั้นว่า “เซตจำกัด” หากจำนวนสมาชิกมีจำนวนมากมายไม่สามารถบอกปริมาณที่แน่นอนได้เราเรียก “เซตอนันต์”


การเขียนเซต
นิยมทำกัน 2 วิธี คือ 1. แบบแจกแจงสมาชิก, 2. แบบบอกเงื่อนไข
ก. แบบแจกแจงสมาชิก
เช่น {}1,2,3A=อ่านว่า A เป็นเซตซึ่งมีสมาชิกเป็น 1, 2 และ 3
ข. แบบบอกเงื่อนไข
เช่น {}4AxIx+=∈<< อ่านว่า A เป็นเซตของ x ซึ่ง x เป็นสมาชิกของจำนวนเต็มบวก โดยที่ x มีค่ามากกว่า 4 แต่น้อยกว่า 6
ซึ่ง เราสามารถที่จะเขียนแทนเซต A ได้ด้วยการแจกแจงสมาชิก คือ A ={5}
สัญลักษณ์ที่ใช้ในเซต


1. ∈แทน เป็นสมาชิก
เช่น 2 ∈I+ อ่านว่า 2 เป็นสมาชิกของจำนวนเต็มบวก
2. U แทน เอกภพสัมพัทธ์
ใช้เพื่อกำหนดขอบเขตของสิ่งที่เราสนใจและกำลังศึกษา
3. {},∅แทน เซตว่าง
สัญลักษณ์ของระบบจำนวนที่พบบ่อย
R : จำนวนจริง
Q : จำนวนตรรกยะ Q’ : จำนวนอตรรกยะ
I: จำนวนเต็ม เศษส่วน ทศนิยมซ้ำ
I-: จำนวนเต็มลบ I0: จำนวนเต็ม 0 I+: จำนวนเต็มบวก
การเท่ากันของเซต
1. จำนวนสมาชิกเท่ากัน 2. สมาชิกเหมือนกัน
การเทียบเท่ากันของเซต
1. จำนวนสมาชิกเท่ากัน
การกำหนดเซต
จะต้อง 1.) มีสมาชิกแน่นอน หรือ ไม่มีสมาชิกเลย
2.) หากกำหนดเป็นแบบบกเงื่อนไข จะต้องไม่กำกวม คือ ทุกคนต้องตอบเหมือนกัน
ตัวอย่างของการกำหนดเซตที่ไม่ถูกต้อง
ให้เซต A แทนเซตของคนที่หล่อที่สุดในโรงเรียน เป็นต้น
สับเซต สัญลักษณ์ ⊂
A B อ่านว่า “A เป็นสับเซตของ B” ⊂
นิยาม : A จะเป็นสับเซตของ B ได้ ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวในเซต A ต้องอยู่ในเซต B
ข้อควรจำ : เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต
ตัวอย่างการหาสับเซต
ตย.1 จงหาสับเซตที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ A เมื่อ A = {1, 2}
สับเซต A = ∅, {1}, {2}, {1,2}
จะสังเกตได้ว่า แต่ละเซตของสับเซต A เช่น {1} มีสมาชิกหนึ่งตัว คือ 1 ซึ่งก็เป็นสมาชิกของ A ด้วยเช่นกัน
จำนวนสับเซตของ A มีทั้งหมด 4 เซต
ตย.2 จงหาสับเซตที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ B เมื่อ B = {3, 4, 5}
สับเซต B = , {3}, {4}, {5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}, {3,4,5} ∅
จำนวนสับเซตของ B มีทั้งหมด 8 เซต
จาก ตย.1 และ ตย.2 จะสามารถสังเกตได้ว่า จำนวนสับเซตมีความสัมพันธ์กับจำนวนสมาชิกของเซตเดิมคือ
จำนวนสับเซต = 2 ยกกำลังจำนวนสมาชิกของเซตเดิม = 2n เมื่อ n คือจำนวนสมาชิกของเซตเดิม
สับเซตแท้ คือสับเซตที่ไม่ใช่เซตเดิม
เช่น A = {1, 2} สับเซต A = , {1}, {2}, {1,2} ∅
สับเซตแท้
สับเซตไม่แท้
การ Operation ของเซต
1. Union : รวม -> สัญลักษณ์ 2. Intersection : เหมือน -> สัญลักษณ์ ∩ ∪
3. Difference : ต่าง -> ลัญลักษณ์ - 4. Complement : ไม่เอา -> สัญลักษณ์ ‘
ตัวอย่างการใช้งาน
U = {1, 2, 3, 4, …, 10}, A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6, 8, 10}
1. Union : A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10} ; B∪A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10} -> AB = BA ∪∪
2. Intersection : AB = {2, 4} ; BA = {2, 4} -> A∩∩∩B = B∩A
3. Difference : A - B = {1, 3, 5} ; B – A = {6, 8, 10} -> A – B ≠B – A
จำง่าย ๆ ว่า : เป็นสมาชิกที่อยู่เฉพาะในเซตหน้า ไม่อยู่ในเซตหลัง
4. Complement : A’ = {6, 7, 8, 9, 10} ; B’ = {1, 3, 5, 7, 9}
ไม่เอาสมาชิกในเซตที่มีเครื่องหมาย ‘ แต่สมาชิกที่ได้ยังคงต้องอยู่ใน U
สมบัติของการ Operation
1. AB = B∪A การสลับที่ ∪
2. AB = B∩A ∩
3. A = A ∪∅
4. A = เอกลักษณ์ ∩∅∅
5. A U = U ∪
6. AU = A ∩
7. A(B∪C) = (AB) ∪C การเปลี่ยนกลุ่ม ∪∪
8. A(B∩C) = (AB) ∩C ∩∩
9. A(B∩C) = (AB) ∩(A∪C) ∪∪
10. A(B∪C) = (AB) ∪(A∩C) การกระจาย ∩∩
11. A – (B∩C) = (A – B) (A – C) ∩
12. A – (B∪C) = (A – B) ∪(A – C)
13. (A’)’ = A
14. (AB)’ = A’ B’ สมบัติของ Complement ∪∩
15. AA’ = U ∪
16. AA’ = ∩∅
17. **A - B = AB’ = B’ – A’ ** Difference ∩
18. A – B B – A ≠
เพาเวอร์เซต (Power Set)
คือ เซตของสับเซต
เช่น A = {1, 2} -> Subset A = ∅, {1}, {2}, {1, 2}
Power Set A = {, {1}, {2}, {1, 2}} ∅
ความสัมพันธ์ของ Power Set กับการ Operation
P(AB) = P(A) ∩P(B) ∩
P(AB) P(A) ∪P(B) ∪≠
ถ้า A B แล้ว P(AB) = P(A) ∪P(B) -> ดังนั้นสามารถสรุปได้ว่า P(A) P(B) P(AB) ⊂∪∪⊂∪
P(A – B) P(A) – P(B) ≠
แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ เป็นแผนภาพหรือสัญลักษณ์แทนการแจกแจง
ประโยชน์ คือ ทำให้ง่ายต่อการทำความเข้าใจและการคำนวณ
แทน U เอกภพสัมพัทธ์ด้วย กรอบสี่เหลี่ยม
แทนเซตต่าง ๆ ด้วยวงกลมในกรอบ
การหาจำนวนสมาชิกของเซต
สามารถพิสูจน์ได้จากการเขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์
n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB) ∪∩
n(ABC) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AB) – n(A∪∪∩∩C) – n(B∩C) + n(A∩B∩C)

จำนวนตรรกยะและอตรรกยะ

จำนวนตรรกยะ

     ในทางคณิตศาสตร์, จำนวนตรรกยะ (หรือเศษส่วน) คืออัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวน มักเขียนอยู่ในรูปเศษส่วน a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ b ไม่เท่ากับศูนย์
     จำนวนตรรกยะแต่ละจำนวนสามารถเขียนได้ในรูปแบบที่หลากหลาย ตัวอย่างเช่น 3 / 6 = 2 / 4 = 1 / 2 รูปแบบที่เรียกว่า  เศษส่วนอย่างต่ำ a และ b นั้น a และ b จะต้องไม่มีตัวหารร่วม และจำนวนตรรกยะทุกจำนวนสามารถเขียนได้ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำนี้
     ทศนิยม เป็นรูปแบบที่แผ่ขยายออกมา และต่อเนื่องไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด (ยกเว้นกรณีซ้ำศูนย์ เราสามารถละ โดยไม่ต้องเขียนได้) ข้อความนี้เป็นจริงสำหรับจำนวนตรรกยะทุกจำนวน
    จำนวนจริงที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ เรียกว่า จำนวนอตรรกยะ
แผนภูมิจำนวนจริง

จำนวนตรรกยะ

     จำนวนอตรรกยะ(irrational Number) คือจำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษ ส่วนa/b เมื่อa และbเป็นจำนวนเต็มโดยที่
bไม่เท่ากับ 0 หรือจำนวน อตรรกยะคือจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะนั่นเองจำนวนอตรรกยะจำแนกได้เป็น 2 ประเภทใหญ่ใหญ่คือ
1.จำนวนติดกรณ์บางจำนวนเช่นเป็นต้น
2.จำนวนทศนิยมไม่ซ้ำเช่น 5.18118168473465
หมายเหตุpซึ่งประมาณได้ด้วย 22/7 แต่จริงๆแล้วpเป็นเลข
    ในการศึกษาเรื่องของจำนวนจริง เราแบ่งจำนวนจริงออกได้เป็น 2 ประเภท คือ จำนวนตรรกยะ และ จำนวนอตรรกยะ จำนวนตรรกยะคือจำนวนที่สามารถเขียนได้ในรูปของทศนิยมรู้จบหรือทศนิยมแบบไม่ รู้จบแบบซ้ำได้Pi เป็นจำนวนจริงที่มีค่าเท่ากับอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมกับเส้นผ่าน ศูนย์กลางของวงกลม โจนส์ (William Jones) เป็นบุคคลแรกที่นำเอาอักษรกรีก Pi มาใช้ โดยให้มีค่าเท่ากับ อัตราส่วนดังกล่าว ซึ่งท่านนำมาใช้ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1706 ในหนังสือ A New Introduction to the Mathematics แต่ยังไม่เผยแพร่จนกระทั่ง ออยเลอย์ (Leonhard Euler) ได้นำเอาการกำหนดค่าของ Pi ดังกล่าวมาใช้ในงานของท่านมากมาย จนกระทั่งเป็นที่ยอมรับและใช้กันมาจนถึงทุกวันนี้

วันจันทร์ที่ 16 มกราคม พ.ศ. 2555

สรุปสูตร เรื่องสถิติ


การคิดเลขในใจ

การคิดเลขในใจเป็นสิ่งสำคัญ จำเป็นและมีประโยชน์ในการเรียนคณิตศาสตร์




 การคิดเลขในใจ (Mental Math หรือ Figuring in You head) นั้นเป็นสิ่งสำคัญ จำเป็น และมีประโยชน์ในการเรียนคณิตศาสตร์ การฝึกคิดเลขในใจนั้นควรฝึกทุกระดับตั้งแต่ระดับประถมศึกษา แล้วก็จะช่วยส่งผลต่อการเรียนคณิตศาสตร์ในระดับมัธยมศึกษา และหากนักเรียนมีทักษะการคิดเลขในใจในระดับมัธยมศึกษาแล้วก็จะช่วยส่งผลต่อการเรียนชั้นระดับอุดมศึกษาเช่นกันอย่างแน่นอน
        การจัดกิจกรรมเพื่อให้นักเรียนได้ฝึกคิดเลขในใจนั้น ควรจัดผสมผสานไปในกระบวนการเรียนการสอน และกระบวนการคิดทางคณิตศาสตร์การคิดเลขในใจเป็นการคิดเลขที่ไม่ใช้เครื่องช่วย เช่น กระดาษ ดินสอ เครื่องคิดเลข เป็นการฝึกคิดเลขในหัว Jack A. Hope, Larry leutzinger,Barbara J.Reys และ Robert E.Reys เชื่อว่า การคิดเลขในใจจะก่อให้เกิดประโยชน์มากมาย ดังนี้
 1.      การคิดเลขในใจจะช่วยให้นักเรียนแก่ปัญหาต่าง ๆ ได้ดีขึ้น (Calculation in your head is a practical life skill) โจทย์ปัญหาการคิดคำนวณในชีวิตประจำวันหลายต่อหลายแบบนั้นสามารถหาคำตอบได้โดยการคิดในใจ เพราะในความเป็นจริงขณะที่เราพบปัญหา เราอาจจะต้องการทราบคำตอบเดี๋ยวนั้นเลย การคิดหาคำตอบต้องทำในหัว ไม่ใช้กระดาษ คินสอหรือเครื่องคิดเลขยกตัวอย่าง เช่น ขณะที่เรากำลังออกเดินทางจากสนามบินแห่งหนึ่ง departure board ระบุว่า Flight ที่เราจะออกเดินทางคือ 15.35 น. เรามองดูนาฬิกาว่าขณะนั้นเป็นเวลา 14.49 น. ถามว่ามีเวลาเหลือเท่าไร ? เรามีเวลาเหลือพอที่จะหาอะไรทานไหม ? ปัญหาเหล่านี้จำเป็นต้องคิดคำนวณในใจเลยซึ่งถ้าเราฝึกทักษะคิดเลขในใจมาประจำก็จะช่วยให้เราแก้ปัญหาดังกล่าวได้ง่ายขึ้น
 2.      การฝึกคิดเลขในใจจะช่วยให้นักเรียนเขียนแสดงวิธีทำได้ง่ายขึ้นและเร็วขึ้น (Skill at mental math can make written computaion easier or quicker) เช่นในการหาคำตอบของ 1,000 x 945 นักเรียนบางคนอาจเขียนแสดงการหาคำตอบดังนี้
 
      ในขณะที่นักเรียนซึ่งฝึกคิดเลขในใจมาเป็นประจำสามารถหาคำตอบได้ในหัวข้อแล้ว และลดขั้นตอนการเขียนแสดงวิธีทำเหลือแค่บรรทัดเดียวคือ 1,000 x 945 = 945,000 เช่นเดียวกับการหาคำตอบของโจทย์ข้อนี้
 
นักเรียนสามารถคิดในใจได้คำตอบ ถูกต้องแม่นยำและรวดเร็วโดยบวกจำนวนสองจำนวนที่ครบสิบก่อนแล้วจึงบวกกับจำนวนที่เหลือ (10 +10+ 10+ 2 = 32) ในขณะที่นักเรียนบางคนอาจใช้วิธีบวกทีละขั้นตอน ซึ่งกว่าจะได้คำตอบก็อาจใช้เวลามากกว่า        
 
3.      การคิดเลขในใจจะช่วยเสริมสร้างความสามารถในการประมาณ (Proficiency in mental math contributes to increased skill in estimation) ทักษะการประมาณเป็นเรื่องที่สำคัญในการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ในปัจจุบันเพราะการประมาณจะช่วยในการตรวจสอบคำตอบว่าน่าจะเป็นไปได้ไหม สามเหตุสมผลไหม (make any sence ) เช่น เป็นไปได้ไหมที่คำตอบของ 400x198 จะมากกว่า 80,000 (ซึ่งเป็นไปไม่ได้เพราะว่า 400 x 200 = 80,000)

วันอาทิตย์ที่ 15 มกราคม พ.ศ. 2555

ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น

• การหารลงตัว
บทนิยาม
กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มใดๆ โดยที่ b ≠ 0
b หาร a ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ a = bn
และเขียนแทน “b หาร a ลงตัว” ได้ด้วยสัญลักษณ์ b | a
       จากบทนิยาม ถ้า b หาร a ไม่ลงตัว แสดงว่าไม่มีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ a = bn และ เขียนแทน         “b หาร a ไม่ลงตัว ได้ด้วยสัญลักษณ์ b † a
ตัวอย่างเช่น3 | 9 เพราะมี n = 3 ที่ทำให้  9 = 3n
-5 | 10 เพราะมี n = -2 ที่ทำให้ 10 = +5n
6 | 0 เพราะมี n = 0 ที่ทำให้ 0 = 6n
สมบัติการหารลงตัว
ทฤษฎีบทที่ 1กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ
ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | c
ทฤษฎีบทที่ 2กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มบวก
ถ้า a | b แล้วจะได้ a ≤ b
ทฤษฎีบทที่ 3กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ
ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | bx + cy
เมื่อ x, y เป็นจำนวนเต็มใดๆ
การจำแนกจำนวนเต็มบวกโดยใช้สมบัติการหารลงตัว
1.จำนวนเฉพาะ (Prime Numbers)
บทนิยามจำนวนเต็ม  p จะเป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ p ≠ 0, p ≠ 1, p ≠ -1 และถ้ามีจำนวนเต็มที่หาร p ลงตัว จำนวนเต็มนั้นต้องเป็นสมาชิกของ {-1, 1, p, -p}
2.จำนวนประกอบ (Composite Numbers)
บทนิยามจำนวนเต็ม c เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 จะเป็นจำนวนประกอบ                   ก็ต่อเมื่อ c ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ
       นั่นคือสำหรับจำนวนเต็มบวก c ใดๆ c จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ                                   มีจำนวนเต็ม m และ n ที่ต่างจาก c ที่ทำให้ c = mn
ตัวอย่างเช่น
       จำนวนที่หาร 2 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 2, -2}  2 เป็นจำนวนเฉพาะ
       จำนวนที่หาร 3 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 3, -3}  3 เป็นจำนวนเฉพาะ
       จำนวนที่หาร 4 ลงตัว ได้แก่ {-4, -2, -1, 1, 2, 4}  4 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ
• ขั้นตอนวิธีการหาร
ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ b ≠ 0 แล้วจะมี q และ r ซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่ทำให้
                     a = bq + r เมื่อ 0 r |b|
นั่นคือ a เป็นตัวตั้งหารด้วย b ได้ผลหารคือ q และเศษ r
ตัวอย่างที่ 1กำหนด a = 48, b = 7 จงหา q และ r
เขียนให้อยู่ในรูปa = bq + r
48 = 7 × 6 +6
  
q = 6 และ r = 6
 
• ตัวหารร่วม
ตัวหารร่วม
     กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกจำนวนเต็ม c
     ซึ่ง c | a และ c | b ว่าเป็น “ตัวหารร่วม” ของ a และ b
ตัวหารร่วมมาก
     กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน เรียกจำนวนเต็มบวก d ที่มีค่ามากที่สุด ซึ่ง d | a และ d | b ว่าเป็น “ตัวหารร่วมมาก” (ห.ร.ม.) ของ a และ b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ (a, b)
ตัวอย่างเช่นจงหา ห.ร.ม. ของ 36 และ 48
วิธีทำตัวหารร่วมของ 36 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36
ตัวหารร่วมของ 48 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±16, ±24, ±48
 
ตัวหารร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6, 12
 
ตัวหารร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ที่มีค่ามากที่สุด คือ12
นั่นคือ ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 คือ 12
การหาตัวหารร่วมมากโดยใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิด
ตัวอย่างเช่นจงหา ห.ร.ม. ของ 36 และ 48
วิธีทำ
     ในที่นี้ rk = 12
     
ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 คือ 12
จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์
บทนิยาม
  จำนวนเต็ม a และ b จะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันก็ต่อเมื่อ (a, b) = 1
• ตัวคูณร่วมน้อย
ตัวคูณร่วมน้อย
 
  กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกจำนวนเต็มบวก c ที่มีค่าน้อยที่สุด ซึ่ง a | c และ b | c ว่าเป็น "ตัวคูณร่วมน้อย" (ค.ร.น.) ของ a และ b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ [a, b]
 ตัวอย่างเช่นจงหา ค.ร.น. ของ 36 และ 24
 วิธีทำพหุคูณที่เป็นบวกของ 36 ได้แก่ 36, 72, 108, 144, ...
 
 
พหุคูณที่เป็นบวกของ 24 ได้แก่ 24, 48, 72, 96, 120, 144, ...
 
 
พหุคูณร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 24 ได้แก่ 72, 144, ...
  พหุคูณร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 24 ที่มีค่าน้อยที่สุด คือ 72
  นั่นคือ ค.ร.น. ของ 36 และ 24 คือ 72

ธรรมชาติและโครงสร้างคณิตศาสตร์

1. ทำไมต้องเรียนคณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์มีบทบาทสำคัญยิ่งต่อการพัฒนาความคิดมนุษย์ ทำให้มนุษย์มีความคิดสร้างสรรค์   คิดอย่างมีเหตุผล เป็นระบบ มีแบบแผน สามารถวิเคราะห์ปัญหาหรือสถานการณ์ได้อย่างถี่ถ้วน รอบคอบ ช่วยให้คาดการณ์ วางแผน ตัดสินใจ แก้ปัญหา และนำไปใช้ในชีวิตประจำวันได้อย่างถูกต้อง เหมาะสม  นอกจากนี้คณิตศาสตร์ยังเป็นเครื่องมือในการศึกษาทางด้านวิทยาศาสตร์ เทคโนโลยีและศาสตร์อื่น ๆ  คณิตศาสตร์จึงมีประโยชน์ต่อการดำเนินชีวิต ช่วยพัฒนาคุณภาพชีวิตให้ดีขึ้น และสามารถอยู่ร่วมกับผู้อื่นได้อย่างมีความสุข  ( หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน 2551 : 1 )

2. เรียนรู้อะไรในคณิตศาสตร์
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์มุ่งให้เยาวชนทุกคนได้เรียนรู้คณิตศาสตร์อย่างต่อเนื่อง        ตามศักยภาพ โดยกำหนดสาระหลักที่จำเป็นสำหรับผู้เรียนทุกคนดังนี้
1. จำนวนและการดำเนินการ  ความคิดรวบยอดและความรู้สึกเชิงจำนวน ระบบจำนวนจริง สมบัติเกี่ยวกับจำนวนจริง การดำเนินการของจำนวน อัตราส่วน ร้อยละ การแก้ปัญหาเกี่ยวกับจำนวน และการใช้จำนวนในชีวิตจริง
2. การวัด   ความยาว ระยะทาง น้ำหนัก พื้นที่ ปริมาตรและความจุ เงินและเวลา หน่วยวัดระบบต่าง ๆ การคาดคะเนเกี่ยวกับการวัด อัตราส่วนตรีโกณมิติ การแก้ปัญหาเกี่ยวกับการวัด และการนำความรู้เกี่ยวกับการวัดไปใช้ในสถานการณ์ต่าง ๆ
3. เรขาคณิต   รูปเรขาคณิตและสมบัติของรูปเรขาคณิตหนึ่งมิติ สองมิติ และสามมิติ การนึกภาพ แบบจำลองทางเรขาคณิต  ทฤษฎีบททางเรขาคณิต  การแปลงทางเรขาคณิต (geometric transformation)ในเรื่องการเลื่อนขนาน (translation)การสะท้อน (reflection) และการหมุน (rotation)
4. พีชคณิต   แบบรูป (pattern) ความสัมพันธ์ ฟังก์ชัน เซตและการดำเนินการของเซต การให้เหตุผล นิพจน์ สมการ ระบบสมการ อสมการ กราฟ ลำดับเลขคณิต ลำดับเรขาคณิต อนุกรมเลขคณิต และอนุกรมเรขาคณิต
5. การวิเคราะห์ข้อมูลและความน่าจะเป็น   การกำหนดประเด็น การเขียนข้อคำถาม การกำหนดวิธีการศึกษา การเก็บรวบรวมข้อมูล การจัดระบบข้อมูล การนำเสนอข้อมูล  ค่ากลางและการกระจายของข้อมูล  การวิเคราะห์และการแปลความข้อมูล การสำรวจความคิดเห็น ความน่าจะเป็น   การใช้ความรู้เกี่ยวกับสถิติและความน่าจะเป็นในการอธิบายเหตุการณ์ต่างๆ และช่วยในการตัดสินใจในการดำเนินชีวิตประจำวัน
6.ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์  การแก้ปัญหาด้วยวิธีการที่หลากหลาย การให้เหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์และการนำเสนอ การเชื่อมโยงความรู้ต่างๆ ทางคณิตศาสตร์ และการเชื่อมโยงคณิตศาสตร์กับศาสตร์อื่นๆ และความคิดริเริ่มสร้างสรรค์  ( หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน 2551 : 1 )
3.     ความหมายของคณิตศาสตร์
                        ราชบัณฑิตยสถาน  (2530 : 99)  ได้ให้ความหมายไว้ว่า  “คณิตศาสตร์เป็นวิชาว่าด้วยการคำนวณ”  ซึ่งมีความหมายที่ทำให้เรามองเห็นคณิตศาสตร์อย่างแคบ  มิได้รวมถึงขอบข่ายของคณิตศาสตร์  ซึ่งเรายอมรับกันในปัจจุบัน
                        สมทรง  สุวพานิช  (2541 : 4-5)  ได้ให้ความหมายของคณิตศาสตร์ดังนี้
                        1.     คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่เกี่ยวกับความคิดที่ใช้คณิตศาสตร์เป็นเครื่องพิสูจน์อย่างมีเหตุผลว่า  สิ่งที่เราคิดคำนึงเป็นจริงหรือไม่  สามารถนำไปแก้ปัญหาในทางวิทยาศาสตร์เทคโนโลยีและอุตสาหกรรมต่าง ๆ
                        2.     คณิตศาสตร์เป็นภาษาอย่างหนึ่ง  คณิตศาสตร์เป็นลักษณะภาษาสื่อความหมายได้ชัดเจน  เช่น  5 + 3  =  8 คณิตศาสตร์เป็นภาษาซึ่งผู้เชี่ยวชาญทางวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีสื่อสารซึ่งกันและกัน  ถ้าไม่มีคณิตศาสตร์จะไม่มีเครื่องจักรเครื่องยนต์และเครื่องไฟฟ้าแน่นอน
                        3.     คณิตศาสตร์มีลักษณะเป็นวิทยาศาสตร์  โดยสร้างแบบจำลองและศึกษาความสัมพันธ์ของปรากฏการณ์ต่าง ๆ ในธรรมชาติ  เช่น  เรขาคณิตแบบยูคลิค  ปรากฎการณ์ทางพันธุกรรม  สามารถอธิบายได้ในเชิงคณิตศาสตร์  โดยใช้เมตริกซ์ การเพิ่มของประชากรสามารถอธิบายในเชิงคณิตศาสตร์โดยใช้เลขยกกำลัง  เป็นต้น  ความมีลักษณะเป็นวิทยาศาสตร์ของคณิตศาสตร์นั้นเป็นที่ยอมรับกันทั่วไปดังเช่น  “คณิตศาสตร์เป็นราชินีของวิทยาศาสตร์”
                        4.     คณิตศาสตร์มีลักษณะเป็นวิชาตรรกวิทยา  เป็นวิชาที่ว่าด้วยเหตุผลและศึกษาระบบ  ซึ่งสร้างโดยอาศัยข้อตกลงใช้เหตุผลตามลำดับขั้น  คือทุกขั้นตอนเป็นเหตุเป็นผลต่อกันมีความสัมพันธ์กันอย่างแยกไม่ออก  เราจะเห็นว่าคณิตศาสตร์นั้นเริ่มต้นด้วยเรื่องง่าย ๆ  และอธิบายข้อคิดต่าง ๆ  ที่สำคัญ  ซึ่งเริ่มต้นด้วยอธิบายจุด  เส้นตรง  ระนาบ  เรื่องอันเป็นพื้นฐานเหล่านี้นำไปสู่เรื่องต่อไป  การศึกษาเกี่ยวกับการใช้เหตุผลนั้นมีประโยชน์มหาศาล
                        5.     คณิตศาสตร์เป็นศิลปะอย่างหนึ่ง  เช่นเดียวกับศิลปะอย่างอื่น  ความหมายของคณิตศาสตร์คือ  ความมีระเบียบและความกลมกลืนที่เกิดขึ้นภายใน  นักคณิตศาสตร์พยายามแสดงออกถึงค่าสูงสุดของชีวิตความสัมพันธ์และแสดงโครงสร้างใหม่ ๆ  ทางคณิตศาสตร์ส่งผลให้เกิดความคิดสร้างสรรค์
                        มหาวิทยาลัยสุโขทัยธรรมธิราช  (2537  :  5)  กล่าวว่าคณิตศาสตร์  เป็นคำแปลมาจาก  Mathematics   หมายถึง   “สิ่งที่เรียนรู้หรือความรู้”  เมื่อพูดถึงคำว่าคณิตศาสตร์คนทั่วไปมักเข้าใจ  ว่าเป็นเรื่องราวเกี่ยวกับตัวเลข  เป็นศาสตร์ของการคำนวณและการวัด  การใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เป็นภาษาสากลเพื่อความหมายและเข้าใจได้
                        จากที่กล่าวมาสรุปได้ว่า  คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่เกี่ยวกับการคำนวณ  เป็นวิชาที่เน้นในด้านความคิด  ความเข้าใจ  ในเรื่องราวเกี่ยวกับตัวเลขและเครื่องมือที่ช่วยให้ผู้เรียนคิดอย่างมีเหตุผลใช้ในการสื่อความหมาย  เป็นประโยชน์และเกี่ยวข้องกับชีวิตประจำวัน
4.     ลักษณะสำคัญของคณิตศาสตร์
                        ยุพิน  พิพิธกุล   (2524 : 1-2)   ได้สรุปลักษณะสำคัญของคณิตศาสตร์ไว้ดังนี้
                        1.     คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่เกี่ยวข้องกับการคิดและมีการพิสูจน์อย่างมีเหตุผลว่าสิ่งที่คิดเป็นจริงหรือไม่
                        2.     คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่มีโครงสร้างที่มีเหตุผล  ใช้อธิบายข้อคิดต่าง ๆ ที่สำคัญได้ เช่น  สัจพจน์  คุณสมบัติ  กฎ ทำให้เกิดความคิดที่เป็นรากฐานในการพิสูจน์เรื่องอื่น ๆ ต่อไป
                        3.     คณิตศาสตร์เป็นภาษาอย่างหนึ่งที่ใช้สัญลักษณะที่รัดกุมและสื่อความหมายได้ถูกต้องโดยใช้ตัวอักษรแสดงความหมายแทนความคิด  เป็นเครื่องมือที่ใช้ฝึกทางสมอง  ซึ่งสามารถช่วยให้เกิดการกระทำในการคิดคำนวณ  การแก้ปัญหา
                        4.     คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่มีแบบแผน  ในการคิดคำนวณทางคณิตศาสตร์นั้นต้องคิดอยู่ในแบบแผน  และมีรูปแบบ  ไม่ว่าจะเป็นการคิดในเรื่องใดก็ตามทุกขั้นตอนจะตอบได้และจำแนกออกมาให้เห็นจริงได้
                        5.     คณิตศาสตร์เป็นศิลปะอย่างหนึ่ง  ความงามของคณิตศาสตร์คือ  มีความเป็นระเบียบและกลมกลืน  นักคณิตศาสตร์ได้พยายามแสดงความคิดเห็นใหม่ ๆ    และแสดงโครงสร้างใหม่ทางคณิตศาสตร์ออกมา  ปัจจุบันคณิตศาสตร์มีบทบาทมากกว่าอดีต  และมีความสำคัญต่อชีวิตประจำวันมากยิ่งขึ้น  ทางด้านสังคมวิทยาก็ต้องอาศัยความรู้ทางสถิติ  นักธุรกิจก็ต้องใช้ความรู้และหลักการทางคณิตศาสตร์ช่วยคิดคำนวณผลผลิตต่าง ๆ
                        จะเห็นได้ว่า  คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่มีความสำคัญอย่างยิ่ง  เป็นเครื่องมือการเรียนรู้กลุ่มสาระการเรียนรู้วิชาต่าง ๆ ในอันที่จะดำรงชีวิตอยู่ในสังคมได้อย่างมีความสุข  ซึ่งจำเป็นจะต้องได้รับการพัฒนาให้ถูกต้องตั้งแต่ระดับการศึกษาขั้นพื้นฐาน
                        พิศมัย  ศรีอำไพ  (2533  :  1-2)  ได้เพิ่มแนวคิดเกี่ยวกับคณิตศาสตร์  ดังนี้
                        1.     คณิตศาสตร์เป็นการศึกษาถึงกระบวนการความสัมพันธ์
                        2.     คณิตศาสตร์เป็นวิถีทางการคิด  ช่วยให้เรามีกลยุทธ์ในการจัดวิเคราะห์และสังเคราะห์ข้อมูล
                        3.     คณิตศาสตร์เป็นศิลปะให้ความซาบซึ่ง  ความงดงามและความต่อเนื่องของคณิตศาสตร์
                        4.     คณิตศาสตร์เป็นภาษาสากล  เพราะคนทั่วไปสามารถเข้าใจประโยคคณิตศาสตร์ได้ตรงกัน
                        5.     คณิตศาสตร์เป็นเครื่องมือที่นักคณิตศาสตร์และนักวิทยาศาสตร์ใช้และเป็นสิ่งที่ทุกคนใช้ในชีวิตประจำวัน
5.     ความสำคัญของคณิตศาสตร์
                        คณิตศาสตร์มีความสำคัญต่อชีวิตประจำวัน  ตั้งแต่ตื่นนอน  ต้องดูเวลา  คิดว่าเป็นวันที่เท่าใด  ต้องหยิบเงินที่จะต้องใช้จ่ายในวันหนึ่ง ๆ  เมื่อออกจากบ้านต้องดูเวลาเท่าใดในการเดินทางและต้องเดินทางไปถึงที่ทำงานภายในเวลาเท่าใด  ถ้าซื้อของชิ้นละ  5  บาท  ซื้อ  3  ชิ้นจะต้องจ่ายเงินเป็นเท่าไร  ต้องได้รับเงินทอนเท่าไร  จะเห็นว่าการนับเงิน  การซื้อขาย  แลกเปลี่ยน  ทอนเงิน  เวลา  เป็นเรื่องของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับชีวิตประจำวันของเราตั้งแต่ลืมตา  ออกจากบ้าน  อยู่ที่ทำงานระหว่างเดินทาง  มากกว่าเรื่องใด  (มหาวิทยาลัยสุโขทัยธรรมาธิราช.  2537 : 8)
                        สมทรง  สุวพานิช   (2541 : 14-15)   กล่าวถึงความสำคัญไว้ว่า  วิชาคณิตศาสตร์มีความสำคัญและมีบทบาทต่อบุคคลมาก  คณิตศาสตร์ช่วยฝึกให้คนมีความรอบคอบ  มีเหตุผลรู้จักหาเหตุผล  ความจริงการมีคุณธรรมเช่นนี้อยู่ในใจเป็นสิ่งสำคัญมากกว่าความเจริญทางด้านวิทยาการใด ๆ   นอกจากนั้น  เมื่อเด็กคิดและเคยชินต่อการแก้ปัญหาตามวัยไปทุกระยะแล้วเมื่อเป็นผู้ใหญ่ย่อมสามารถแก้ปัญหาชีวิตได้
6.     ธรรมชาติของวิชาคณิตศาสตร์
        กรมวิชาการ    (2539  :  4-5)   ได้กล่าวสรุปถึงธรรมชาติของวิชาคณิตศาสตร์ไว้  ดังนี้
                        คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่มีลักษณะเป็นนามธรรม  โครงสร้างของคณิตศาสตร์ประกอบด้วย  คำที่เป็นอนิยาม  บทนิยาม  และสัจพจน์   แล้วพัฒนาเป็นทฤษฎีบทต่าง ๆ  โดยอาศัยการใช้เหตุผลอย่างสมเหตุสมผลปราศจากข้อขัดแย้งใด ๆ  คณิตศาสตร์เป็นระบบที่มีความคงเส้นคงวา  มีความเป็นอิสระและมีความสมบูรณ์ในตัวเอง
                        ระบบจำนวนระบบแรกที่มนุษย์ใช้คือระบบจำนวนนับ  ระบบนี้ประกอบด้วยจำนวนนับ   1 , 2 , 3 , 4 , ....    กับการบวกและการคูณ  ระบบนี้ไม่เพียงพอ  เช่น  สมการ  (  )   + 3 = 2  ไม่มีคำตอบในระบบจำนวนนับ  จึงได้มีการขยายระบบจำนวนนับเป็นระบบจำนวนเต็ม  ...  , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , ...    กับการบวกและการคูณจะเห็นว่า  (  )  + 3 =  2  มีคำตอบในระบบจำนวนเต็ม  แต่สมการ  3x = 2  ไม่มีคำตอบในระบบจำนวนเต็ม  จึงได้ขยายความระบบจำนวนเต็มเป็นระบบาจำนวนตรรกยะ ระบบนี้ประกอบด้วยจำนวนตรรกยะ  แต่  x2 = 2   ไม่มีคำตอบในระบบจำนวนตรรกยะจึงได้มีการขยายความจำนวนตรรกยะเป็นระบบจำนวนจริงและเรียกจำนวนจริงที่ไม่ใช้จำนวนตรรกยะว่าจำนวนอตรรกยะ
                        สำนักงานคณะกรรมการการประถมศึกษาแห่งชาติ  (2540  : 1)   กล่าวว่าคณิตศาสตร์เป็นวิชาที่มีลักษณะเป็นนามธรรม  อาศัยการให้เหตุผลอย่างสมเหตุสมผลปราศจากข้อขัดแย้งใด ๆ  คณิตศาสตร์เป็นระบบที่มีความคงเส้นคงวา  มีความเป็นอิสระและมีความสมบูรณ์ในตัวเอง  ดังนั้น  จึงสามารถสรุปธรรมชาติของคณิตศาสตร์ไว้ดังนี้
                        1.     คณิตศาสตร์เป็นวิชาเกี่ยวกับความคิดรวบยอด  (Concept)  ความคิดรวบยอดนี้เป็นการสรุปข้อคิดที่เหมือนกัน อันเกิดจากประสบการณ์ที่เกิดขึ้น  เช่น  ของสองหมู่  ถ้าจับหนึ่งต่อหนึ่งได้พอดีแสดงว่าจำนวนเท่ากัน
                        2.     คณิตศาสตร์เป็นนามธรรม  (Abstract)  เป็นเรื่องของความคิด  คำทุกคำ  ประโยคทุกประโยคในวิชาคณิตศาสตร์ว่าด้วยนามธรรมทั้งสิ้น  ทั้งนี้สือเนื่องมาจากแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เริ่มต้นจากนิยามที่เป็นนามธรรม  เช่น 1 เป็นอนิยามซึ่งเป็นนามธรรม
                        3.     คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่ใช้สัญลักษณ์   สัญลักษณ์ที่ใช้แทนความคิดเป็นเครื่องมือในการฝึกสมอง  ช่วยให้เกิดการกระทำในการคิดคำนวณ  การแก้ปัญหาการพิสูจน์  เช่น  +  -  x  ÷
                        4.     คณิตศาสตร์เป็นภาษาอย่างหนึ่งมีการกำหนดสัญลักษณ์ที่รัดกุมสื่อความหมายที่ถูกต้องเพื่อแสดงความหมายแทนความคิดเช่นเดียวกับภาษาอื่น ๆ  เช่น  5 – 2  =  3   ทุกคนต้องมีความเข้าใจว่าหมายถึงอะไร  จะได้คำตอบเป็นอย่างเดียวกัน
                        5.     คณิตศาสตร์มีลักษณะเป็นตรรกศาสตร์  มีการแสดงเป็นเหตุเป็นผลต่อกันทุกขั้นตอนของความคิดจะเป็นเหตุเป็นผลต่อกัน  มีความสัมพันธ์กัน  เช่น  2 x 3 = 3 x 2
                        6.     คณิตศาสตร์มีลักษณะเป็นปรนัยอยู่ในตัวเอง  มีความถูกต้องเที่ยงตรงสามารถพิสูจน์หรือทดสอบได้ด้วยเหตุผลและการใช้กฎเกณฑ์ที่แน่นอน  เช่น  4 + 1 =  ? 
                        7.     คณิตศาสตร์มีลักษณะเป็นวิทยาศาสตร์  โดยสร้างแบบจำลองและศึกษาความสัมพันธ์ของปรากฏต่าง ๆ  มีการพิสูจน์  ทดลอง  หรือสรุปอย่างมีเหตุผลตามความจริง